KẾT LUẬN. Qua quá trình tìm hiểu về đề tài " Tìm hiểu nội dung dạy học số tự nhiên. trong môn Toán ở Tiểu học" em thấy rằng: Các kiến thức của môn Toán ở Tiểu. học có rất nhiều ứng dụng không chỉ đối với vốn kiến thức tạo nên cho HS mà. còn có cả các Giải bởi Vietjack. Vì dãy hệ số của khai triển (a + b)n tăng dần đến "giữa" rồi giảm dần nên: a) Hệ số lớn nhất của (a + b)2022 là C 1011 2022. b) Hệ số lớn nhất của (a + b)2023 là C 1011 2023 và C 1012 2023. Số lớn trong chúng ta được nuôi dưỡng, lớn lên trong một đất nước nhỏ bé, trải qua hơn nghìn năm nô lệ cho các thiên triều phương Bắc, hơn trăm năm phải cúi đầu chấp nhận một nước Pháp xa xôi làm đất mẹ để được là thành viên của một nền văn minh xa lạ Hyundai Grandeur là sedan lớn và sang nhất đội hình thương hiệu Hàn Quốc - Ảnh: Hyundai. Hyundai Grandeur (còn có tên Azera tại một số thị trường) vừa chính thức bước sang thế hệ thứ 7 với phong cách hiện đại và sang trọng bậc nhất từ trước tới nay. Chủ lực đội hình Tạo dãy các số nguyên tố từ 1 -> 10^6. 2 trường hợp xấu nhất xảy ra khi phân tích TSNT là: k = a * b (a là phần đã phân tích TSNT, b nguyên tố nằm ngoài khoảng [1, 10^6]) Kiểu gì thì kiểu, k cũng phải có 1 ước nguyên tố trong khoảng [1, 10^6] (vì giới hạn k <= 10^12 nên điều này chứng minh được). Đây là kênh chia sẻ các bài giảng Miễn Phí. Các môn: Toán, Lí, Hóa cho các em học sinh THCS và THPT. Bài giảng dễ hiểu và dễ nắm bắt theo 4 mức độ: Nhận Ey02. Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài toán xác định các hệ số trong khai triển nhị thức Newton, các dạng toán được đề cập trong bài viết gồm xác định hệ số trong khai triển nhị thức Newton 2 số hạng, 3 số hạng, xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn … trong mỗi dạng toán, đều có hướng dẫn cụ thể phương pháp, các ví dụ minh họa với lời giải chi tiết, phần cuối bài viết là tuyển tập các bài toán hay và khó để bạn đọc nắm chắc kỹ thuật giải dạng toán Phương pháp xác định các hệ số trong khai triển nhị thức Newton. 1. Tìm hệ số của số hạng chứa ${x^m}$ trong khai triển ${\left {a{x^p} + b{x^q}} \right^n}.$ Phương pháp Cho khai triển ${\left {a{x^p} + b{x^q}} \right^n}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {\left {a{x^p}} \right^{n – k}}{\left {b{x^q}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {a^{n – k}}{b^k}{x^{np – pk + qk}}.$ Số hạng chứa ${x^m}$ ứng với giá trị $k$ thỏa $np – pk + qk = m.$ Từ đó tìm $k = \frac{{m – np}}{{p – q}}.$ Vậy hệ số của số hạng chứa ${x^m}$ là $C_n^k{a^{n – k}}{b^k}$ với giá trị $k$ đã tìm được ở trên. Nếu $k$ không nguyên hoặc $k > n$ thì trong khai triển không chứa $x^m$, hệ số phải tìm bằng $0.$ Lưu ý Tìm số hạng không chứa $x$ thì ta đi tìm giá trị $k$ thỏa $np – pk + qk = 0.$Bài toán 1 Trong khai triển $\left {2\sqrt[3]{x} – \frac{3}{{\sqrt x }}} \right$, $x > 0$ số hạng không chứa $x$ sau khi khai triển là? A. $4354560.$ B. $13440.$ C. $60466176.$ D. $20736.$Chọn A. ${\left {2\sqrt[3]{x} – \frac{3}{{\sqrt x }}} \right^{10}}$ $ = {\left {2{x^{\frac{1}{3}}} – 3{x^{ – \frac{1}{2}}}} \right^{10}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {\left {2{x^{\frac{1}{3}}}} \right^{10 – k}}{\left { – 3{x^{ – \frac{1}{2}}}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {2^{10 – k}}{ – 3^k}{x^{\frac{{10 – k}}{3}}}{x^{\frac{k}{2}}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {2^{10 – k}}{ – 3^k}{x^{\frac{{20 – 5k}}{6}}}.$ Theo yêu cầu đề bài ta có $20 – 5k = 0$ $ \Leftrightarrow k = 4.$ Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển là $C_{10}^4{.2^6}{.3^4} = = 435460.$Bài toán 2 Cho $n$ là số dương thỏa mãn $5C_n^{n – 1} = C_n^3.$ Số hạng chứa ${x^5}$ trong khai triển nhị thức Newton $P = {\left {\frac{{n{x^2}}}{{14}} – \frac{1}{x}} \right^n}$ với $x \ne 0$ là? A. $ – \frac{{35}}{{16}}.$ B. $ – \frac{{16}}{{35}}.$ C. $ – \frac{{35}}{{16}}{x^5}.$ D. $ – \frac{{16}}{{35}}{x^5}.$Chọn C. Điều kiện $n \in N$, $n \ge 3.$ Ta có $5C_n^{n – 1} = C_n^3$ $ \Leftrightarrow \frac{{ – 1!}} = \frac{{n!}}{{3!.n – 3!}}$ $ \Leftrightarrow \frac{5}{{n – 3!n – 2n – 1}} = \frac{1}{{6n – 3!}}$ $ \Leftrightarrow {n^2} – 3n – 28 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {n = 7\{\rm{thỏa\mãn}}}\\ {n = – 4\{\rm{loại}}} \end{array}} \right.$ Với $n = 7$ ta có $P = {\left {\frac{{{x^2}}}{2} – \frac{1}{x}} \right^7}.$ $P = {\left {\frac{{{x^2}}}{2} – \frac{1}{x}} \right^7}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} {\left {\frac{{{x^2}}}{2}} \right^{7 – k}}{\left { – \frac{1}{x}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} \frac{1}{{{2^k}}} \cdot { – 1^{7 – k}}{x^{14 – 3k}}.$ Số hạng chứa ${x^5}$ tương ứng với $14 – 3k = 5$ $ \Leftrightarrow k = 3.$ Vậy số hạng chứa ${x^5}$ trong khai triển là $C_7^4 \cdot \frac{1}{{{2^4}}} \cdot { – 1^3} = – \frac{{35}}{{16}}.$2. Xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn. Phương pháp Giả sử sau khi khai triển ta được đa thức $Px = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + \ldots + {a_n}{x^n}.$ Xét các khả năng sau a. Nếu ${a_k} > 0$ $\forall k$ trường hợp ${a_k} {a_{k + 1}}$ có nghiệm $k > {k_0}.$ • Nếu ${a_k} = {a_{k + 1}}$ $ \Leftrightarrow k = {k_0}$ thì ta có ${a_0} {a_{{k_0} + 2}} > \ldots > {a_n}.$ Khi đó ta tìm được hai hệ số lớn nhất là ${a_{{k_0}}} = {a_{{k_0} + 1}}.$ • Nếu phương trình ${a_k} = {a_{k + 1}}$ vô nghiệm thì ta có ${a_0} {a_{{k_0} + 1}} > {a_{{k_0} + 2}} > \ldots > {a_n}.$ Khi đó ta có ${a_{{k_0}}}$ là hệ số lớn nhất trong khai triển của nhị thức. b. Nếu ${a_{2k}} > 0$ $\forall k$ và ${a_{2k + 1}} 0$ $\forall k$ tương tự thì khi đó bài toán trở thành tìm số lớn nhất trong các số ${a_{2k}}$. Ta cũng xét bất phương trình ${a_{2k}} \le {a_{2k + 2}}$ rồi làm tương tự như phần toán 1 Tìm hệ số có giá trị lớn nhất trong khai triển đa thức $Px = {2x + 1^{13}}$ $ = {a_0}{x^{13}} + {a_1}{x^{12}} + \ldots + {a_{13}}.$ A. $8.$ B. $4536.$ C. $4528.$ D. $4520.$Chọn A. Ta có hệ số tổng quát sau khi khai triển nhị thức ${2x + 1^{13}}$ là ${a_n} = C_{13}^n{.2^{13 – n}}.$ Suy ra ${a_{n – 1}} = C_{13}^{n – 1}{.2^{14 – n}}$, $n = 1,2,3, \ldots ,13.$ Xét bất phương trình với ẩn số $n$ ta có ${a_{n – 1}} \le {a_n}$ $ \Leftrightarrow C_{13}^{n – 1}{.2^{14 – n}} \le C_n^{13}{.2^{13 – n}}$ $ \Leftrightarrow \frac{{ – 1!14 – n!}} \le \frac{{13!}}{{n!13 – n!}}$ $ \Leftrightarrow \frac{2}{{14 – n}} \le \frac{1}{n}$ $ \Leftrightarrow n \le \frac{{14}}{3} \notin N.$ Do đó bất đẳng thức ${a_{n – 1}} \le {a_n}$ đúng với $n \in \{ 1,2,3,4\} $ và dấu đẳng thức không xảy ra. Nên bất đẳng thức ${a_{n – 1}} > {a_n}$ đúng với $n \in \{ 5,6,7,8,9,10,11,12,13\} .$ Ta được ${a_0} {a_5} > {a_6} > \ldots > {a_{13}}.$ Từ đây ta có hệ số có giá trị lớn nhất trong khai triển nhị thức là ${a_4} = C_{13}^4{.2^9} = 366080.$Bài toán 2 Trong khai triển biểu thức $F = {\left {\sqrt 3 + \sqrt[3]{2}} \right^9}$ số hạng nguyên có giá trị lớn nhất là? A. $8.$ B. $4536.$ C. $4528.$ D. $4520.$Chọn B. Ta có số hạng tổng quát ${T_{k + 1}} = C_9^k{\sqrt 3 ^{9 – k}}{\sqrt[3]{2}^k}.$ Ta thấy hai bậc của căn thức là $2$ và $3$ là hai số nguyên tố, do đó để ${T_{k + 1}}$ là một số nguyên thì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {k \in N}\\ {0 \le k \le 9}\\ {9 – k \vdots 2}\\ {k \vdots 3} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {k = 3 \Rightarrow {T_4} = C_9^3{{\sqrt 3 }^6}{{\sqrt[3]{2}}^3} = 4536}\\ {k = 9 \Rightarrow {T_{10}} = C_9^9{{\sqrt 3 }^0}{{\sqrt[3]{2}}^9} = 8} \end{array}} \right.$ Vậy trong khai triển có hai số hạng nguyên là ${T_4} = 4536$ và ${T_{10}} = 8.$3. Xác định hệ số của số hạng trong khai triển $Px = {\left {a{x^t} + b{x^p} + c{x^q}} \right^n}.$ Phương pháp Xác định hệ số của số hạng chứa ${x^m}$ trong khai triển $Px = {\left {a{x^t} + b{x^p} + c{x^q}} \right^n}.$ Ta làm như sau $Px = {\left {a{x^t} + b{x^p} + c{x^q}} \right^n}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {\left {a{x^t}} \right^{n – k}}{\left {b{x^p} + c{x^q}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^n {\sum\limits_{i = 0}^k {C_n^k} } {a^{n – k}}{x^{tn – k}}C_k^i{b^{k – i}}{c^i}{x^{pk – i + qi}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^n {\sum\limits_{i = 0}^k {C_n^k} } C_k^i{a^{n – k}}{b^{k – i}}{c^i}{x^{tn – k + pk – i + qi}}$ do ${\left {b{x^p} + c{x^q}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{i = 0}^k {C_k^i} {\left {b{x^p}} \right^{k – i}}{\left {c{x^q}} \right^i}$ $ = \sum\limits_{i = 0}^k {C_k^i} {b^{k – i}}{c^i}{x^{pk – i + qi}}$. Suy ra số hạng tổng quát của khai triển là $C_n^kC_i^k{a^{n – k}}{b^{k – i}}{c^i}{x^{tn – k + pk – i + qi}}.$ Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của ${x^m}.$Bài toán 1 Hệ số của số hạng chứa ${x^4}$ trong khai triển $Px = {\left {3{x^2} + x + 1} \right^{10}}$ là A. $1695.$ B. $1485.$ C. $405.$ D. $360.$Chọn A. Ta có số hạng tổng quát của khai triển là $C_{10}^kC_k^i{3^{10 – k}}{1^{k – i}}{1^i}{x^{210 – k + 1k – i + 0i}}$ $ = C_{10}^kC_k^i{3^{10 – k}}{x^{20 – k – i}}.$ Số hạng chứa ${x^4}$ tương ứng với $20 – k – i = 4$ $ \Rightarrow k = 16 – i.$ Với $0 \le k \le 10$, $0 \le i \le k$ nên ta có $i;k \in \{ 6;10;7;9;8;8\} .$ Vậy hệ số của ${x^4}$ trong khai triển $Px = {\left {3{x^2} + x + 1} \right^{10}}$ là $C_{10}^{10}C_{10}^6{3^0} + C_{10}^9C_9^73 + C_{10}^8C_8^8{3^2} = 1695.$ Nhận xét Chú ý khi ra nhiều trường hợp của $i, k$ thì ta cộng hệ số các trường hợp với nhau để có kết toán 2 Tìm số hạng chứa ${x^{13}}$ trong khai triển thành các đa thức của ${\left {x + {x^2} + {x^3}} \right^{10}}$ là A. $135.$ B. $45.$ C. $135x^{13}.$ D. $45x^{13}.$Chọn C. Ta có số hạng tổng quát của khai triển là $C_{10}^kC_k^i{1^{10 – k}}{1^{k – i}}{1^i}{x^{10 – k + 2k – i + 3i}}$ $ = C_{10}^kC_k^i{x^{10 + k + i}}.$ Số hạng chứa ${x^{13}}$ tương ứng với $10 + k + i = 13$ $ \Rightarrow k = 3 – i.$ Với $0 \le k \le 10$, $0 \le i \le k$ nên ta có $i;k \in \{ 0;3;1;2\} .$ Vậy hệ số của ${x^{13}}$ trong khai triển $Px = {\left {x + {x^2} + {x^3}} \right^{10}}$ là $C_{10}^3C_3^0 + C_{10}^2C_2^1 = 210.$B. Bài tập rèn luyện. Bài toán 1. Trong khai triển ${\left {8{a^2} – \frac{1}{2}b} \right^6}$, hệ số của số hạng chứa ${a^9}{b^3}$ là A. $ – 80{a^9}{b^3}.$ B. $ – 64{a^9}{b^3}.$ C. $ – 1280{a^9}{b^3}.$ D. $60{a^6}{b^4}.$Chọn C. Số hạng tổng quát trong khai triển trên là ${T_{k + 1}} = { – 1^k}C_6^k{8^{6 – k}}{a^{12 – 2k}}{2^{ – k}}{b^k}.$ Yêu cầu bài toán xảy ra khi $k = 3.$ Khi đó hệ số của số hạng chứa ${a^9}{b^3}$ là $ – 1280{a^9}{b^3}.$Bài toán 2 Hệ số của ${x^3}{y^3}$ trong khai triển ${1 + x^6}{1 + y^6}$ là A. $20.$ B. $800.$ C. $36.$ D. $400.$Chọn D. Số hạng tổng quát trong khai triển trên là ${T_{k + 1}} = C_6^k{x^k}.C_6^m{y^m}.$ Yêu cầu bài toán xảy ra khi $k = m = 3.$ Khi đó hệ số của số hạng chứa ${x^3}{y^3}$ là $C_6^3C_6^3 = 400.$Bài toán 3 Xác định hệ số của ${x^8}$ trong các khai triển sau $fx = 8{1 + 8x^8}$ $ – 9{1 + 9x^9} + 10{1 + 10x^{10}}.$ A. $ – C_9^1{.9^8} + B. $C_8^0{.8^8} – C_{9.}^1{.9^8} + C_{10}^8{.10^8}.$ C. $C_8^0{.8^8} – + D. $ – + D. Ta có ${1 + 8x^8} = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k} {8^{8 – k}}{x^{8 – k}}.$ ${1 + 9x^9} = \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k} {9^{9 – k}}{x^{9 – k}}.$ ${1 + 10x^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {10^{10 – k}}{x^{10 – k}}.$ Nên hệ số chứa ${x^8}$ là $ – + toán 4 Tìm hệ số của ${x^7}$ trong khai triển thành đa thức của ${2 – 3x^{2n}}$, biết $n$ là số nguyên dương thỏa mãn $C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3 + C_{2n + 1}^5$ $ + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1} = 1024.$ A. $2099529.$ B. $-2099520.$ C. $-2099529.$ D. $2099520.$Chọn B. Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sum\limits_{k = 0}^{2n + 1} {C_{2n + 1}^k} = {2^{2n + 1}}}\\ {\sum\limits_{i = 0}^n {C_{2n + 1}^{2i + 1}} = \sum\limits_{i = 0}^n {C_{2n + 1}^{2i}} } \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \sum\limits_{i = 0}^n {C_{2n + 1}^{2i + 1}} = {2^{2n}} = 1024$ $ \Rightarrow n = 5.$ Suy ra ${2 – 3x^{2n}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {2^{10 – k}}{ – 3^k}{x^k}.$ Hệ số của ${x^7}$ là $C_{10}^7{.2^3}.{ – 3^7} = – 2099520.$Bài toán 5 Tìm hệ số của ${x^5}$ trong khai triển đa thức của $x{1 – 2x^5} + {x^2}{1 + 3x^{10}}.$ A. $3320.$ B. $2130.$ C. $3210.$ D. $1313.$Chọn A. Đặt $fx = x{1 – 2x^5} + {x^2}{1 + 3x^{10}}.$ Ta có $fx = x\sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k} { – 2^k}{x^k} + {x^2}\sum\limits_{i = 0}^{10} {C_{10}^i} {3x^i}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k} { – 2^k}{x^{k + 1}} + \sum\limits_{i = 0}^{10} {C_{10}^i} {3^i}{x^{i + 2}}.$ Vậy hệ số của ${x^5}$ trong khai triển đa thức của $fx$ ứng với $k = 4$ và $i = 3$ là $C_5^4{ – 2^4} + C_{10}^3{3^3} = 3320.$Bài toán 6 Với $n$ là số nguyên dương, gọi ${a_{3n – 3}}$ là hệ số của ${x^{3n – 3}}$ trong khai triển thành đa thức của ${\left {{x^2} + 1} \right^n}{x + 2^n}$. Tìm $n$ để ${a_{3n – 3}} = 26n.$ A. $n=3.$ B. $n=4.$ C. $n=5.$ D. $n=2.$Chọn C. Cách 1 Ta có ${\left {{x^2} + 1} \right^n}$ $ = C_n^0{x^{2n}} + C_n^1{x^{2n – 2}} + C_n^2{x^{2n – 4}} + \ldots + C_n^n.$ ${x + 2^n}$ $ = C_n^0{x^n} + 2C_n^1{x^{n – 1}} + {2^2}C_n^2{x^{n – 2}} + \ldots + {2^n}C_n^n.$ Dễ dàng kiểm tra $n = 1$, $n = 2$ không thoả mãn điều kiện bài toán. Với $n ≥ 3$ thì dựa vào khai triển ta chỉ có thể phân tích ${x^{3n – 3}}$ $ = {x^{2n}}{x^{n – 3}}$ $ = {x^{2n – 2}}{x^{n – 1}}.$ Do đó hệ số của ${x^{3n – 3}}$ trong khai triển thành đa thức của ${\left {{x^2} + 1} \right^n}{x + 2^n}$ là ${a_{3n – 3}} = {2^3}C_n^0C_n^3 + 2C_n^1C_n^1.$ Suy ra ${a_{3n – 3}} = 26n$ $ \Leftrightarrow \frac{{2n\left {2{n^2} – 3n + 4} \right}}{3} = 26n$ $ \Leftrightarrow n = – \frac{7}{2}$ hoặc $n = 5.$ Vậy $n = 5$ là giá trị cần tìm. Cách 2 Ta có ${\left {{x^2} + 1} \right^n}{x + 2^n}$ $ = {x^{3n}}{\left {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right^n}{\left {1 + \frac{2}{x}} \right^n}$ $ = {x^{3n}}\sum\limits_{i = 0}^n {C_n^i} {\left {\frac{1}{{{x^2}}}} \right^i}\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {\left {\frac{2}{x}} \right^k}$ $ = {x^{3n}}\left[ {\sum\limits_{i = 0}^n {C_n^i} {x^{ – 2i}}\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {2^k}{x^{ – k}}} \right].$ Trong khai triển trên, luỹ thừa của $x$ là $3n – 3$ khi $ – 2i – k = – 3$ $ \Leftrightarrow 2i + k = 3.$ Ta chỉ có hai trường hợp thoả mãn điều kiện này là $i = 0$, $k = 3$ hoặc $i = 1$, $k = 1$ vì $i,k$ nguyên. Hệ số của ${x^{3n – 3}}$ trong khai triển thành đa thức của ${\left {{x^2} + 1} \right^n}{x + 2^n}$ là ${a_{3n – 3}} = C_n^0C_n^3{2^3} + C_n^1C_n^12.$ Do đó ${a_{3n – 3}} = 26n$ $ \Leftrightarrow \frac{{2n\left {2{n^2} – 3n + 4} \right}}{3} = 26n$ $ \Leftrightarrow n = – \frac{7}{2}$ hoặc $n = 5.$ Vậy $n = 5$ là giá trị cần toán 7 Tìm hệ số của số hạng chứa ${x^{26}}$ trong khai triển nhị thức Newton của ${\left {\frac{1}{{{x^4}}} + {x^7}} \right^n}$, biết $C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + \ldots + C_{2n + 1}^n$ $ = {2^{20}} – 1.$ A. $210.$ B. $213.$ C. $414.$ D. $213.$Chọn A. Do $C_{2n + 1}^k = C_{2n + 1}^{2n + 1 – k}$, $\forall k = 0,1,2, \ldots ,2n + 1.$ $ \Rightarrow C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + \ldots + C_{2n + 1}^n$ $ = C_{2n + 1}^{n + 1} + C_{2n + 1}^{n + 2} + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1}.$ Mặc khác $C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1} = {2^{2n + 1}}.$ $ \Rightarrow 2\left {C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + \ldots + C_{2n + 1}^n} \right = {2^{2n + 1}}.$ $ \Rightarrow C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + \ldots + C_{2n + 1}^n$ $ = {2^{2n}} – C_{2n + 1}^0$ $ = {2^{2n}} – 1.$ $ \Rightarrow {2^{2n}} – 1 = {2^{20}} – 1$ $ \Rightarrow n = 10.$ Khi đó ${\left {\frac{1}{{{x^4}}} + {x^7}} \right^{10}}$ $ = {\left {{x^{ – 4}} + {x^7}} \right^{10}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {\left {{x^{ – 4}}} \right^{10 – k}}{x^{7k}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^{11k – 40}}.$ Hệ số chứa ${x^{26}}$ ứng với giá trị $k$ thỏa mãn $11k – 40 = 26$ $ \Rightarrow k = 6.$ Vậy hệ số chứa ${x^{26}}$ là $C_{10}^6 = 210.$Bài toán 8 Trong khai triển của ${\left {\frac{1}{3} + \frac{2}{3}x} \right^{10}}$ thành đa thức ${a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + \ldots + {a_9}{x^9} + {a_{10}}{x^{10}}$, hãy tìm hệ số ${a_k}$ lớn nhất $0 \le k \le 10.$ A. ${a_{10}} = 3003\frac{{{2^{10}}}}{{{3^{15}}}}.$ B. ${a_5} = 3003\frac{{{2^{10}}}}{{{3^{15}}}}.$ C. ${a_4} = 3003\frac{{{2^{10}}}}{{{3^{15}}}}.$ D. ${a_9} = 3003\frac{{{2^{10}}}}{{{3^{15}}}}.$Chọn A. Ta có ${\left {\frac{1}{3} + \frac{2}{3}x} \right^{15}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} {\left {\frac{1}{3}} \right^{15 – k}}{\left {\frac{2}{3}x} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} \frac{{{2^k}}}{{{3^{15}}}}{x^k}.$ Hệ số của ${x^k}$ trong khai triển ${a_k} = \frac{1}{{{3^{15}}}}C_{15}^k{2^k}.$ Ta có ${a_{k – 1}} \frac{{32}}{3}$ $ \Rightarrow {a_{10}} > {a_{11}} > \ldots > {a_{15}}.$ Vậy hệ số lớn nhất phải tìm là ${a_{10}} = \frac{{{2^{10}}}}{{{3^{15}}}}C_{15}^{10} = 3003\frac{{{2^{10}}}}{{{3^{15}}}}.$Bài toán 9 Cho khai triển ${1 + 2x^n}$ $ = {a_0} + {a_1}x + \ldots + {a_n}{x^n}$, trong đó $n \in {N^*}$. Tìm số lớn nhất trong các số ${a_0},{a_1}, \ldots ,{a_n}$ biết các hệ số ${a_0},{a_1}, \ldots ,{a_n}$ thỏa mãn hệ thức ${a_0} + \frac{{{a_1}}}{2} + \ldots + \frac{{{a_n}}}{{{2^n}}} = 4096.$ A. $324512.$ B. $126720.$ C. $130272.$ D. $130127.$Chọn B. Đặt $fx = {1 + 2x^n}$ $ = {a_0} + {a_1}x + \ldots + {a_n}{x^n}.$ $ \Rightarrow {a_0} + \frac{{{a_1}}}{2} + \ldots + \frac{{{a_n}}}{{{2^n}}}$ $ = f\left {\frac{1}{2}} \right = {2^n}$ $ \Rightarrow {2^n} = 4096$ $ \Leftrightarrow n = 12.$ Với mọi $k \in \{ 0,1,2, \ldots ,11\} $ ta có ${a_k} = {2^k}C_{12}^k$, ${a_{k + 1}} = {2^{k + 1}}C_{12}^{k + 1}.$ $ \Leftrightarrow \frac{{{a_k}}}{{{a_{k + 1}}}} 1$ $ \Leftrightarrow k > 7$ $ \Rightarrow {a_8} > {a_9} > \ldots > {a_{12}}.$ Số lớn nhất trong các số ${a_0},{a_1}, \ldots ,{a_{12}}$ là ${a_8} = {2^8}C_{12}^8 = 126720.$ Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài toán tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Newton Niu-tơn, đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Đại số và Giải tích 11 Tổ hợp và Xác PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN + Áp dụng khai triển ${a + b^n}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {a^{n – k}}{b^k}.$ + Xác định số hạng tổng quát $C_n^k{a^{n – k}}{b^k}$, suy ra hệ số tổng quát là một dãy số theo ${a_k}.$ + Xét tính tăng giảm của ${a_k}$ từ đó tìm $k$ tương ứng. + Suy ra hệ số lớn nhất trong khai BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1 Cho khai triển ${1 + 2x^n}$ $ = {a_0} + {a_1}x + \ldots + {a_n}{x^n}$, trong đó $n \in {N^*}$ và các hệ số ${a_0}$, ${a_1}$, …, ${a_n}$ thỏa mãn ${a_0} + \frac{{{a_1}}}{2} + \ldots + \frac{{{a_n}}}{{{2^n}}} = 4096.$ Tìm số lớn nhất trong các số ${a_0}$, ${a_1}$, …, ${a_n}.$Lời giải Ta có ${1 + 2x^n}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {2^k}{x^k}.$ Chọn $x = \frac{1}{2}$, ta được $\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} = {2^n}.$ Suy ra ${a_0} + \frac{{{a_1}}}{2} + \ldots + \frac{{{a_n}}}{{{2^n}}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} $ $ \Leftrightarrow {2^n} = 4096$ $ \Leftrightarrow n = 12.$ Xét số tổng quát trong khai triển là ${a_k} = C_{12}^k{2^k}.$ Xét dãy số ${a_k} = C_{12}^k{.2^k}$, ta có ${a_{k + 1}} = C_{12}^{k + 1}{.2^{k + 1}}.$ Xét ${a_k} – {a_{k + 1}} > 0$ $ \Leftrightarrow C_{12}^k{.2^k} – C_{12}^{k + 1}{.2^{k + 1}} > 0.$ $ \Leftrightarrow \frac{{12!{2^k}}}{{k!12 – k!}} – \frac{{12!{2^{k + 1}}}}{{k + 1!11 – k!}} > 0$ $ \Leftrightarrow \frac{{12!{2^k}}}{{k!11 – k!}}\left {\frac{1}{{12 – k}} – \frac{2}{{k + 1}}} \right > 0.$ $ \Leftrightarrow \frac{1}{{12 – k}} – \frac{2}{{k + 1}} > 0$ $ \Leftrightarrow 3k – 23 > 0$ $ \Leftrightarrow k > \frac{{23}}{3} \approx 7,7.$ Do đó ${a_8} > {a_9} > \ldots > {a_{12}}.$ Tương tự ${a_k} – {a_{k + 1}} {a_7} > \ldots > {a_0}.$ Vậy $\max \left {{a_0},{a_1}, \ldots ,{a_n}} \right = {a_8}$ $ = C_{12}^8{2^8} = 126720.$Bài 2 Tìm $k \in \{ 0;1;2; \ldots ;2005\} $ sao cho $C_{2005}^k$ đạt giá trị lớn giải Ta có $C_{2005}^k$ lớn nhất $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {C_{2005}^k \ge C_{2005}^{k + 1}}\\ {C_{2005}^k \ge C_{2005}^{k – 1}} \end{array}} \right.$ $\forall k \in \{ 0;1;2; \ldots ;2005\} .$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{2005!}}{{k!2005 – k!}} \ge \frac{{2005!}}{{k + 1!2004 – k!}}}\\ {\frac{{2005!}}{{k!2005 – k!}} \ge \frac{{2005!}}{{k – 1!2006 – k!}}} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{1}{{2005 – k}} \ge \frac{1}{{k + 1}}}\\ {\frac{1}{k} \ge \frac{1}{{2006 – k}}} \end{array}} \right..$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {k + 1 \ge 2005 – k}\\ {2006 – k \ge k} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {k \ge 1002}\\ {k \le 1003} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow 1002 \le k \le 1003.$ Vậy $C_{2005}^k$ đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {k = 1002}\\ {k = 1003} \end{array}} \right..$Bài 3 Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Newton của ${\left {\frac{1}{3} + \frac{2}{3}x} \right^{15}}.$Lời giải Ta có ${\left {\frac{1}{3} + \frac{2}{3}x} \right^{15}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} {\left {\frac{1}{3}} \right^{15 – k}}\left {\frac{2}{3}} \right{x^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} \frac{{{2^k}}}{{{3^{15}}}}{x^k}.$ Gọi ${a_k}$ là hệ số của ${x^k}$ trong khai triển, với $k = \overline {0..15} .$ Xét dãy số ${a_k} = \frac{1}{{{3^{15}}}}C_{15}^k{2^k}.$ Ta có ${a_{k + 1}} = \frac{1}{{{3^{15}}}}C_{15}^{k + 1}{.2^{k + 1}}.$ Suy ra ${a_k} {a_{k + 1}}$ $ \Leftrightarrow k > \frac{{29}}{3}.$ Suy ra ${a_{10}} > {a_{11}} > {a_{12}} > \ldots > {a_{15}}.$ Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển trên là ${a_{10}} = \frac{{{2^{10}}}}{{{3^{15}}}}C_{15}^{10} = 3003.\frac{{{2^{10}}}}{{{3^{15}}}}.$Bài 4 Trong khai triển của ${\left {\frac{1}{3} + \frac{2}{3}x} \right^{10}}$ thành đa thức ${a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + \ldots + {a_{10}}{x^{10}}$ $\left {{a_k} \in R} \right.$ Tìm hệ số ${a_k}$ lớn nhất $0 \le k \le 10.$Lời giải Ta có ${a_{k – 1}} \le {a_k}$ $ \Leftrightarrow C_{10}^{k – 1}{.2^{k – 1}} \le C_{10}^k{.2^k}$ $ \Leftrightarrow \frac{1}{{k – 1!11 – k!}} \le \frac{2}{{k!10 – k!}}.$ $ \Leftrightarrow k \le 211 – k$ $ \Leftrightarrow k \le \frac{{22}}{3}.$ Vậy hệ số ${a_7}$ là lớn nhất ${a_7} = \frac{1}{{{3^{10}}}}.C_{10}^7{.2^7}.$Bài 5 Cho $n$ là số nguyên dương cố định. Chứng minh rằng $C_n^k$ lớn nhất nếu $k$ là một số tự nhiên lớn nhất không vượt quá $\frac{{n + 1}}{2}.$Lời giải Ta có $C_n^k = \frac{{n!}}{{k!n – k!}}$ và $C_n^{k – 1} = \frac{{n!}}{{k – 1!n – k + 1!}}$ $ \Rightarrow \frac{{C_n^k}}{{C_n^{k – 1}}} = \frac{{n – k + 1}}{k}.$ Do đó $C_n^k > C_n^{k – 1}$ $ \Leftrightarrow \frac{{n – k + 1}}{k} > 1$ $ \Leftrightarrow k {a_{k + 1}}$ $ \Leftrightarrow k > \frac{{23}}{3}$ suy ra ${a_8} > {a_9} > {a_{10}} > {a_{11}} > {a_{12}}.$ Vậy với mọi $k = \overline {1..12} $, ${a_k} \le {a_8}.$ Vậy $\max \left {{a_1},{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{12}}} \right = {a_8}$ $ = C_{12}^8{.2^8} = 126720.$Bài 7 Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển ${3 + 2x^8}.$Lời giải Ta có ${3 + 2x^8}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k} {3^{8 – k}}{2^k}{x^k}.$ Hệ số tổng quát trong khai triển là ${a_k} = C_8^k{3^{8 – k}}{2^k}.$ Xét dãy số ${a_k} = C_8^k{3^{8 – k}}{2^k}$, $k = \overline {0..8} .$ Ta có ${a_{k + 1}} = C_8^{k + 1}{3^{7 – k}}{2^{k + 1}}.$ Xét ${a_k} – {a_{k + 1}} > 0$ $ \Leftrightarrow C_8^k{3^{8 – k}}{2^k} – C_8^{k + 1}{3^{7 – k}}{2^{k + 1}} > 0.$ $ \Leftrightarrow {3^{7 – k}}{2^k}\left {3C_8^k – 2C_8^{k + 1}} \right > 0$ $ \Leftrightarrow 3.\frac{{8!}}{{k!8 – k!}} – 2.\frac{{8!}}{{k + 1!7 – k!}} > 0.$ $ \Leftrightarrow \frac{{8!}}{{k!7 – k!}}\left {\frac{3}{{8 – k}} – \frac{2}{{k + 1}}} \right > 0$ $ \Leftrightarrow \frac{{3k – 3 – 16 + 2k}}{{8 – kk + 1}} > 0$ $ \Leftrightarrow k > \frac{{19}}{5}.$ Suy ra ${a_4} > {a_5} > {a_6} > {a_7} > {a_8}.$ Ngược lại ${a_k} – {a_{k + 1}} {a_3} > {a_2} > {a_1} > {a_0}.$ Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển là ${a_4} = C_8^4{3^4}{2^4} = 90720.$Bài 8 Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển của ${2 + 3x^{2n}}$, trong đó $n$ là số nguyên dương thỏa mãn $C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3$ $ + C_{2n + 1}^5 + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1}$ $ = 1024.$Lời giải Xét khai triển ${1 + x^{2n + 1}}$ $ = C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1x$ $ + C_{2n + 1}^2{x^2} + C_{2n + 1}^3{x^3}$ $ + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1}{x^{2n + 1}}.$ Chọn $x= 1$, ta được $C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1$ $ + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^3$ $ + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1} = {2^{2n + 1}}$ $*.$ Chọn $x = – 1$, ta được $C_{2n + 1}^0 – C_{2n + 1}^1$ $ + C_{2n + 1}^2 – C_{2n + 1}^3$ $ + \ldots – C_{2n + 1}^{2n + 1} = 0.$ Từ $*$ suy ra $2\left {C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3 + C_{2n + 1}^5 + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1}} \right$ $ = {2^{2n + 1}}.$ $ \Leftrightarrow C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3 + C_{2n + 1}^5 + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1} = {2^{2n}}.$ Theo giả thiết ta có ${2^{2n}} = 1024 = {2^{10}}$ $ \Leftrightarrow n = 5.$ Từ đó suy ra ${2 + 3x^{2n}}$ $ = {2 + 3x^{10}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {2^{10 – k}}{3x^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {{3^k}} .C_{10}^k{2^{10 – k}}{x^k}.$ Xét dãy số ${a_k} = {3^k}.C_{10}^k{2^{10 – k}}$, $k = \overline {0..10} .$ Ta có ${a_{k + 1}} = {3^{k + 1}}.C_{10}^{k + 1}{2^{9 – k}}.$ Ta có ${a_k} > {a_{k + 1}}$ $ \Leftrightarrow {a_k} – {a_{k + 1}} > 0$ $ \Leftrightarrow {3^k}.C_{10}^k{2^{10 – k}} – {3^{k + 1}}.C_{10}^{k + 1}{2^{9 – k}} > 0.$ $ \Leftrightarrow {3^k}{2^{9 – k}}\left {2C_{10}^k – 3C_{10}^{k + 1}} \right > 0$ $ \Leftrightarrow 2.\frac{{10!}}{{k!10 – k!}} – 3.\frac{{10!}}{{k + 1!9 – k!}} > 0.$ $ \Leftrightarrow \frac{{10!}}{{k!9 – k!}}\left {\frac{2}{{10 – k}} – \frac{3}{{k + 1}}} \right > 0$ $ \Leftrightarrow \frac{{10!}}{{k!9 – k!}}\left {\frac{{5k – 28}}{{10 – kk + 1}}} \right > 0$ $ \Leftrightarrow k > \frac{{28}}{5}.$ Suy ra ${a_6} > {a_7} > \ldots > {a_{10}}.$ Ngược lại ${a_k} {a_7} > … > {a_{10}}.$ Ngược lại ${a_k} {a_5} > … > {a_0}.$ Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển là ${a_6} = {3^6}.C_{16}^6{2^4} = 2449440.$Bài 9 Tìm hệ số có giá trị lớn nhất của khai triển ${1 + x^n}$, biết rằng tổng các hệ số bằng $4096.$Lời giải Xét khai triển ${1 + x^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {x^k}.$ Chọn $x = 1$, ta được $\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} = {2^n}.$ Theo giả thiết ta có ${2^n} = 4096$ $ \Leftrightarrow n = 12.$ Suy ra ${1 + x^n}$ $ = {1 + x^{12}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k} {x^k}.$ Xét dãy số ${a_k} = C_{12}^k.$ Ta có ${a_k} \ge {a_{k + 1}}$ $ \Leftrightarrow C_{12}^k \ge C_{12}^{k + 1}$ $ \Leftrightarrow \frac{{12!}}{{k!12 – k!}} \ge \frac{{12!}}{{k + 1!11 – k!}}.$ $ \Leftrightarrow \frac{{12!}}{{k!12 – k11 – k!}} \ge \frac{{12!}}{{k + 1k!11 – k!}}$ $ \Leftrightarrow \frac{1}{{12 – k}} \ge \frac{1}{{k + 1}}$ $ \Leftrightarrow k \ge \frac{{13}}{2}.$ Suy ra ${a_7} \ge {a_8} \ge \ldots \ge {a_{12}}.$ Ngược lại ${a_k} \le {a_{k + 1}}$ $ \Leftrightarrow k \le \frac{{13}}{2}.$ Suy ra ${a_7} \ge {a_6} \ge \ldots \ge {a_0}.$ Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển là ${a_7} = C_{12}^7 = 792.$ Bài 3 Nhị thức Niu-tơn lý thuyết trắc nghiệm hỏi đáp bài tập sgk Câu hỏi Bài 1 Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển x+2\^{10}\helppp me hệ số của số hạng chứa \x^6\ trong khai triển \\left1+x^2\right^{12}\ hệ số của số hạng chứa \x^6\ trong khai triển \\left2x-1\right^{10}\HELP ME! Xem chi tiết Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Newton của \\left\dfrac{1}{2}+\dfrac{x}{3}\right^{14}\ Xem chi tiết Bài 1 hệ số của số hạng chứa \x^6\ trong khai triển \\left1+x^2\right^{12}\ hệ số của số hạng chứa \x^6\ trong khai triển \\left2x-1\right^{10}\Giúp mk vs ạ!!! Xem chi tiết Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển 1+2x/310 Xem chi tiết Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển 1+2x/310 Xem chi tiết 15. Số hạng chính giữa trong khai triển 3x + 2y^4 là? 18. Tìm hệ số của x^7 trong khai triển hx= x2 + 3x^9 là? 19. Tìm hệ số của x^7 trong khai triển gx= 1+x^7 + 1-x^8 + 2+x^9 là? Xem chi tiết 1. Tìm hệ số của số hạng x^4 trong khai triển leftx-3right^92. Tìm hệ số của số hạng chứa x^{12}y^{13} trong khai triển left2x+3yright^{25}3. Tìm hệ số của số hạng chứa x^4 trong khai triển leftdfrac{x}{3}-dfrac{3}{x}right^{12}4. Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển leftx^2-dfrac{1}{x}right^65. Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển leftx+dfrac{1}{x^4}right^{10}Đọc tiếp Xem chi tiết Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển sau x5 + 1/2x27 Xem chi tiết Tìm hệ số chứa x^6 trong khai triển 1/x + x^3^10 Xem chi tiết giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niu-tơn của a + b^n, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11. Nội dung bài viết Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niu-tơn của a + b^n Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niu-tơn của a + b. Phương pháp. Bước 1 Số hạng tổng quát thứ k + 1. Bước 2 Giải hệ phương trình. Bước 3 Hệ số lớn nhất trong khai triển. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng. Ví dụ 1 Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển thành đa thức biến x. Vậy hệ số lớn nhất là 2. Ví dụ 2 Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển 1 + x, biết tổng các hệ số bằng 4096. Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức moon Thành viên cấp 2 Thành viên BQT Tham gia ngày 2/10/14 Bài viết 160 Đã được thích 46 Điểm thành tích 28 Phương pháp Giả sử sau khi khai triển ta được đa thức $Px = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + \ldots + {a_n}{x^n}.$ Xét các khả năng sau a. Nếu ${a_k} > 0$ $\forall k$ trường hợp ${a_k} {a_{k + 1}}$ có nghiệm $k > {k_0}.$ • Nếu ${a_k} = {a_{k + 1}}$ $ \Leftrightarrow k = {k_0}$ thì ta có ${a_0} {a_{{k_0} + 2}} > \ldots > {a_n}.$ Khi đó ta tìm được hai hệ số lớn nhất là ${a_{{k_0}}} = {a_{{k_0} + 1}}.$ • Nếu phương trình ${a_k} = {a_{k + 1}}$ vô nghiệm thì ta có ${a_0} {a_{{k_0} + 1}} > {a_{{k_0} + 2}} > \ldots > {a_n}.$ Khi đó ta có ${a_{{k_0}}}$ là hệ số lớn nhất trong khai triển của nhị thức. b. Nếu ${a_{2k}} > 0$ $\forall k$ và ${a_{2k + 1}} 0$ $\forall k$ tương tự thì khi đó bài toán trở thành tìm số lớn nhất trong các số ${a_{2k}}$. Ta cũng xét bất phương trình ${a_{2k}} \le {a_{2k + 2}}$ rồi làm tương tự như phần 1. Bài toán 1 Tìm hệ số có giá trị lớn nhất trong khai triển đa thức $Px = {2x + 1^{13}}$ $ = {a_0}{x^{13}} + {a_1}{x^{12}} + \ldots + {a_{13}}.$ A. $8.$ B. $4536.$ C. $4528.$ D. $4520.$ Chọn A. Ta có hệ số tổng quát sau khi khai triển nhị thức ${2x + 1^{13}}$ là ${a_n} = C_{13}^n{.2^{13 – n}}.$ Suy ra ${a_{n – 1}} = C_{13}^{n – 1}{.2^{14 – n}}$, $n = 1,2,3, \ldots ,13.$ Xét bất phương trình với ẩn số $n$ ta có ${a_{n – 1}} \le {a_n}$ $ \Leftrightarrow C_{13}^{n – 1}{.2^{14 – n}} \le C_n^{13}{.2^{13 – n}}$ $ \Leftrightarrow \frac{{ – 1!14 – n!}} \le \frac{{13!}}{{n!13 – n!}}$ $ \Leftrightarrow \frac{2}{{14 – n}} \le \frac{1}{n}$ $ \Leftrightarrow n \le \frac{{14}}{3} \notin N.$ Do đó bất đẳng thức ${a_{n – 1}} \le {a_n}$ đúng với $n \in \{ 1,2,3,4\} $ và dấu đẳng thức không xảy ra. Nên bất đẳng thức ${a_{n – 1}} > {a_n}$ đúng với $n \in \{ 5,6,7,8,9,10,11,12,13\} .$ Ta được ${a_0} {a_5} > {a_6} > \ldots > {a_{13}}.$ Từ đây ta có hệ số có giá trị lớn nhất trong khai triển nhị thức là ${a_4} = C_{13}^4{.2^9} = 366080.$ Bài toán 2 Trong khai triển biểu thức $F = {\left {\sqrt 3 + \sqrt[3]{2}} \right^9}$ số hạng nguyên có giá trị lớn nhất là? A. $8.$ B. $4536.$ C. $4528.$ D. $4520.$ Chọn B. Ta có số hạng tổng quát ${T_{k + 1}} = C_9^k{\sqrt 3 ^{9 – k}}{\sqrt[3]{2}^k}.$ Ta thấy hai bậc của căn thức là $2$ và $3$ là hai số nguyên tố, do đó để ${T_{k + 1}}$ là một số nguyên thì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {k \in N}\\ {0 \le k \le 9}\\ {9 – k \vdots 2}\\ {k \vdots 3} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {k = 3 \Rightarrow {T_4} = C_9^3{{\sqrt 3 }^6}{{\sqrt[3]{2}}^3} = 4536}\\ {k = 9 \Rightarrow {T_{10}} = C_9^9{{\sqrt 3 }^0}{{\sqrt[3]{2}}^9} = 8} \end{array}} \right.$ Vậy trong khai triển có hai số hạng nguyên là ${T_4} = 4536$ và ${T_{10}} = 8.$ Bài viết mới nhất Chia sẻ trang này Lời giải Theo khai triển nhị thức Newton ta có \\left 1+\frac{2x}{3} \right ^{10}=\sum _{k=0}^{10}C^{k}_{10} 1^{k}\left \frac{2x}{3} \right ^{10-k}\ \=C^{0}_{10}\left \frac{2x}{3} \right ^{10}+C_{10}^{1}\left \frac{2x}{3} \right ^9+.....+C_{10}^{10}\left \frac{2x}{3} \right ^0\ Các hệ số \C_{10}^0\frac{2}{3}^{10}; C_{10}^{1}\frac{2}{3}^9; ...; C_{10}^{10}\frac{2}{3}^0\ Xét hàm \fx=C_{10}^{x}\left\frac{2}{3}\right^{10-x}\ \fa+1=C_{10}^{a+1}\frac{2}{3}^{9-a}\ \fa=C_{10}^{a}\left\frac{2}{3}\right^{10-a}\ \fa+1-fa=\frac{10!}{a+1!9-a!}\frac{2^{9-a}}{3^{9-a}}-\frac{10!}{a!10-a!}\frac{2^{10-a}}{3^{10-a}}\ \=\frac{10!.2^{9-a}}{a!9-a!.3^{9-a}}\left[ \frac{1}{a+1}-\frac{2}{310-a}\right]\ \=\frac{10!.2^{9-a}}{a!9-a!.3^{9-a}}.\frac{28-5a}{3a+110-a}\ Nếu \a\geq 6\Rightarrow fa+1-fa 0\ , hàm tăng Do đó điểm cực đại của \fx\ với \x=0;1;2;....; 10\ đặt tại \x=6\ Do đó hệ số lớn nhất là \C_{10}^{6}\frac{2}{3}^4=\frac{1120}{27}\

tìm hệ số lớn nhất trong khai triển